La turbulence joue un rôle important dans de nombreuses applications industrielles (écoulement, transfert de chaleur, réactions chimiques). Comme la simulation directe (DNS) est souvent d’un coût excessif en temps calcul, les modèles en moyenne de Reynolds (RANS) sont alors utilisés dans les codes de CFD (computational fluid dynamics). Le plus connu, qui a été publié dans les années 70, est le modèle k – e. Il se traduit par deux équations additionnelles non-linéaires couplées aux équations de Navier-Stokes, décrivant le transport, pour l’une, de l’énergie cinétique turbulente (k) et, pour l’autre, de son taux de dissipation (e). Une propriété très importante à vérifier est la positivité des paramètres k et e qui est nécessaire pour que le système d’équations modélisant la turbulence reste stable. Il est donc crucial que la discrétisation de ces modèles préserve la monotonie. Les équations étant de type convection-diffusion, il est bien connu qu’avec des schémas classiques linéaires (Eléments finis, Volumes finis etc…), les solutions numériques sont susceptibles d’osciller sur des mailles déformées. Les valeurs négatives des paramètres k et e sont alors à l’origine de l’arrêt de la simulation. Il s’avère donc nécessaire de rendre monotone les schémas linéaires classiques de la littérature de manière consistante et stable.
Nous nous intéressons aux méthodes non linéaires permettant d’obtenir des stencils compacts. Pour des opérateurs de diffusion, elles reposent sur des combinaisons non linéaires de flux de part et d’autre de chaque arête. Ces approches ont montré leur efficacité, particulièrement pour la suppression d’oscillations sur des maillages très déformés. On pourra également reprendre les idées proposées dans la littérature, où il est par exemple décrit des corrections non linéaires s’appliquant sur des schémas linéaires classiques.
L’idée serait donc d’appliquer ce type de méthode sur les opérateurs diffusifs apparaissant dans les modèles k-e. Dans ce contexte, il sera également intéressant de transformer des schémas classiques de la littérature approchant les gradients en schémas non linéaires à deux points. Des questions fondamentales doivent être examinées dans le cas de maillages généraux à propos de la consistance et de la coercivité des schémas étudiés.
Au cours de la thèse, on prendra le temps de régler les problèmes de fond de ces méthodes (première et seconde année), à la fois sur les aspects théoriques et sur la mise en œuvre informatique. Cette dernière pourra être effectuée dans les environnements de développement Castem, Trust/TrioCFD ou POLYMAC. On s’intéressera alors à des solutions analytiques régulières et aux cas d’application représentatifs de la communauté.

La simulation des équations de Navier-Stokes demande de disposer de méthodes numériques précises et robustes prenant en compte des opérateurs de diffusions, des termes de gradient et de convection. Les approches opérationnelles ont montré leur efficacité sur des simplexes. Cependant, dans certaines modélisations ou certains codes (TrioCFD, Flica5), il peut être utile d’améliorer localement la précision des solutions à l’aide d’un estimateur d’erreur ou bien de prendre en compte des mailles de forme générale.
Rappelons que nous nous intéressons ici à des schémas décalés. Cela signifie que la pression est calculée au centre des mailles et les vitesses sur les arêtes (ou les faces) du maillage. On obtient alors des méthodes naturellement précises à bas nombre de Mach.
De nouveaux schémas ont été présentés récemment dans ce contexte et ont montré leur robustesse et leur précision. Cependant, ces discrétisations peuvent être très coûteuses en place mémoire et en temps calcul en comparaison aux schémas MAC sur des maillages réguliers.
Nous nous intéressons aux méthodes de type « gradient ». Certaines d’entre elles reposent sur une formulation variationnelle avec des inconnues de pression aux centres des mailles et des inconnues de vecteur vitesse sur les arêtes (ou les faces) des cellules. Cette approche a montré son efficacité, particulièrement en termes de robustesse.
Notons également qu’un algorithme avec les mêmes degrés de libertés que les méthodes MAC a été proposé et donne des résultats prometteurs.
L’idée serait donc de combiner ces deux approches, à savoir la méthode « gradient » avec les mêmes degrés de libertés que les méthodes MAC. Dans un premier temps, on s’attachera à retrouver les schémas MAC sur les maillages réguliers. Des questions fondamentales doivent être examinées dans le cas de maillages généraux : stabilité, consistance, conditionnement du système à inverser, verrouillage numérique.
On pourra également essayer de retrouver les gains en précisions obtenus à l’aide des méthodes pour discrétiser les gradients de pression.
Au cours de la thèse, on prendra le temps de régler les problèmes de fond de cette méthode (première et seconde année), à la fois sur les aspects théoriques et sur la mise en oeuvre informatique. Cette dernière pourra être effectuée dans les environnements de développement Castem, Trust/TrioCFD, ou POLYMAC. On s’intéressera alors aux cas d’application représentatifs de la communauté.