Méthodes Monte-Carlo pour la solution de l’équation du transport adjointe : application aux problèmes de radioprotection
La méthode Monte-Carlo est la méthode de référence pour la simulation du transport des neutrons et des photons, notamment dans le domaine de la radioprotection, en raison du nombre très faible d’approximations qu’elle introduit. L’approche habituelle repose sur l’échantillonnage d’un grand nombre d’histoires des particules, qui partent d’une source, suivent les lois physiques de collision renseignées dans les bibliothèques de données nucléaires et explorent la géométrie du système considéré : les contributions des histoires à la réponse d’intérêt (par exemple un taux de comptage dans un détecteur), moyennées sur l’ensemble des histoires simulées, estiment la valeur prédite par l’équation de Boltzmann. Si la région du détecteur est « petite », la convergence statistique de l’approche Monte-Carlo standard devient très difficile, car seul un nombre extrêmement limité d’histoires pourra contribuer. Il devient alors envisageable d’utiliser les méthodes de Monte-Carlo pour la solution de l’équation du transport adjointe : les histoires des particules sont échantillonnées à partir du détecteur en procédant en sens inverse, et la région d’encaissement est la source du problème de départ (qui est typiquement supposée « grande » par rapport au détecteur). Cette approche, simple en principe, offre la possibilité de réduire considérablement l’incertitude statistique. Toutefois, les méthodes de Monte-Carlo adjointes présentent des verrous scientifiques à la fois pratiques et conceptuels : comment échantillonner les lois physiques de collision « à rebours » ? Comment maîtriser la stabilité numérique des simulations adjointes ? Dans cette thèse, nous allons explorer différentes pistes de recherche afin d’apporter des réponses à ces questions, en vue de l’application de ces méthodes aux problèmes de radioprotection. Les retombées pratiques de ce travail pourraient ouvrir de nouvelles perspectives très encourageantes pour le nouveau code de simulation TRIPOLI-5®.
Assimilation de données transitoires et calibration de codes de simulation à partir de séries temporelles
Dans le cadre de la simulation scientifique, certains outils (codes) de calcul sont construits comme un assemblage de modèles (physiques) couplés dans un cadre numérique. Ces modèles et la façon dont ils sont couplés utilisent des jeux de paramètres ajustés sur des résultats expérimentaux ou sur des résultats de calculs fins de type « Simulation numérique directe » (DNS) dans une démarche de remontée d’échelle. Les observables de ces codes, ainsi que les résultats expérimentaux ou les résultats des calculs fins, sont majoritairement des grandeurs temporelles. L’objectif de cette thèse est alors de mettre en place une méthodologie de fiabilisation de ces outils en ajustant leurs paramètres par assimilation de données à partir de ces séries temporelles.
Un travail sur l’ajustement de paramètres a déjà été réalisé dans notre laboratoire dans le cadre d’une thèse précédente, mais en utilisant des scalaires dérivés des résultats temporels des codes. La méthodologie développée durant cette thèse a intégré des étapes de criblage, de métamodélisation, et d’analyse de sensibilité qui pourront être repris et adaptés au nouveau format des données. Une étape préalable de transformation des séries temporelles sera à mettre au point, afin de réduire les données tout en limitant les pertes d’information. Des outils de machine learning /deep learning pourront être envisagés.
L’application de cette méthode se fera dans le cadre de la simulation des accidents graves de réacteurs nucléaires. Durant ces accidents le cœur se dégrade et du corium (magma de combustible et d’éléments de structure issus de la fusion du cœur du réacteur) se forme et peut se relocaliser et interagir avec son environnement (liquide réfrigérant, acier de la cuve, béton du radier, …). Certains codes de simulation d’accidents graves décrivent individuellement chaque étape / interaction, quand d’autres décrivent la totalité de la séquence accidentelle. Ils ont en commun d’être multiphysiques et d’avoir un nombre de modèles et de paramètres souvent grand. Ils décrivent des phénomènes physiques transitoires dans lesquels le caractère temporel est important.
La thèse se déroulera au Laboratoire de Modélisation des Accidents Graves de l’institut IRESNE au CEA Cadarache, dans une équipe au meilleur niveau national et mondial pour l’étude numérique des phénomènes liés au corium, de sa génération à sa propagation et son interaction avec l’environnement. Les techniques mises en œuvre pour l’assimilation de données ont également un important potentiel générique qui assurent des débouchés importants pour le travail proposé, dans le monde du nucléaire et ailleurs.
Décomposition de domaine multi-bloc et non conforme, adaptée au couplage aux frontières 'exact' du code de thermohydraulique SIMMER-V
Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la recherche nécessaire pour l'utilisation durable de l'énergie nucléaire dans un mix énergétique décarboné respectueux du climat. Les réacteurs de 4° génération refroidis au sodium sont alors des candidats de grand intérêt pour l'économie de la ressource en uranium et la minimisation du volume des déchets ultimes.
Dans le cadre de la sûreté de tels réacteurs, il est important de pouvoir décrire avec précision les conséquences d'une éventuelle dégradation du cœur. Une collaboration avec son homologue japonais JAEA permet au CEA de développer le code SIMMER-V dédié à la simulation de la dégradation du cœur. Le code calcule la thermohydraulique du sodium, la dégradation des structures et la neutronique du cœur pendant la phase accidentelle. L'objectif est de pouvoir représenter non seulement le cœur mais aussi son environnement direct (circuit primaire) avec précision. La prise en compte de cette topologie requiert de partitionner le domaine et d'utiliser une méthode de couplage aux frontières. La limite de cette approche réside généralement dans la qualité et la robustesse de la méthode de couplage, en particulier lors de transitoires rapides au cours desquels des ondes de pression et de densité sont amenées à traverser les frontières.
Une méthode de couplage a été initiée au Laboratoire de Modélisation des Accidents Graves de l’institut IRESNE de Cadarache (Annals of Nuclear Energy 2022,Implementation of multi-domains in SIMMER-V thermohydraulic code https://doi.org/10.1016/j.anucene.2022.109338), qui consiste à fusionner les différentes décompositions de chacun des domaines, dans le but de constituer une décomposition unique du calcul global. Cette méthode a été développée dans un cadre simplifié où les maillages (cartésiens) se raccordent de manière conforme au niveau des frontières. L'opportunité qui s'ouvre est d'étendre cette méthode au cas des raccords quelconques en utilisant la librairie MEDCoupling. Cette première étape dont la faisabilité a été acquise permettra d'assembler des composants pour constituer un système de type 'loop' (réacteur à boucles). La deuxième étape consistera à étendre la méthode de sorte qu'un domaine de calcul puisse être totalement emboîté dans un autre. Cet emboîtement permettra alors de constituer un domaine par juxtaposition ou par emboîtement avec des maillages et des décompositions de domaine non conformes. Après avoir vérifié les qualités numériques de la méthode, la dernière étape applicative consistera à construire une simulation de la dégradation d'un cœur plongé dans sa cuve primaire (configuration 'pool') permettant de valider la méthode suivie.
Ce travail permettra à l’étudiant de développer des connaissances en techniques numériques et modélisation pour les systèmes physiques complexes avec écoulements. Il mettra en œuvre des techniques allant de la conception à la validation de méthodes, dans une équipe pluridisciplinaire et dynamique au CEA Cadarache.
Planification du déploiement d’infrastructures énergétiques à l’échelle d’un territoire : Approche d’optimisation économique et environnementale
Le contexte général est celui de la « Conception et optimisation de systèmes énergétiques multi-vecteurs à l’échelle territoriale »
Plus précisément, il s’agit de développer les nouvelles méthodes permettant d’étudier les trajectoires de réduction d’impact environnemental global (ACV sous-jacente) d’un territoire en maîtrisant les coûts dans divers cas d’applications, par exemple :
• Opportunité de développer des infrastructures (par exemple réseau H2, ou réseau de chaleur) pour permettre la décarbonation, en développant les usages là où ces infrastructures existent ou existeront, tout en réduisant l’impact environnemental global pour des usages donnés.
• Impact, sur ces études, d’une centralisation ou décentralisation de moyens de production et de consommation,
• Prise en compte de l’évolution temporelle des investissements avec le compromis de rénover / remplacer, à un instant donné, des installations dans une optique de réduction de l’impact environnemental global pour des usages donnés.
Des cas d'applications possibles d'infrastructures hydrogène sont en cours ou identifiés.
Réseau de neurones sur variétés et applications dans le domaine de la Santé
Le sujet de la thèse porte sur l’apprentissage profond géométrique (geometric deep learning) et son utilisation dans diverses applications liées à la Santé.
La fusion de ces deux domaines (géométrie et IA) est au cœur de la thèse avec la conception de réseaux SPDnet qui mêlent à la fois les techniques d’apprentissage end-to-end et des opérations mathématiques sur la variété des matrices symétriques définies positives.
La mise au point de ces méthodes d’un point de vue mathématique et informatique ainsi que leur application sur des bases de données publiques en Electro-Encéphalographie (EEG) font partie des objectifs de cette thèse.
Les résultats attendus sont de démontrer la supériorité de ces méthodes sur les approches courantes en BCI (Brain computer Interface) et d’identifier les configurations optimales pour différentes applications médicales avec des données multicapteurs ou encore en traitement d’images.
Développement et modélisation en CFD appliqués à la thermohydraulique du stockage souterrain de gaz en cavité
Au CEA, le LMSF propose une thèse en collaboration avec la société Storengy spécialiste mondial du stockage souterrain de gaz naturel dans les cavités salines. Des mesures réalisées en cavité montrent que le gaz est en mouvement convectif dans la partie supérieure de la cavité et qu’il n’est pas forcément en équilibre thermodynamique avec la saumure en fond de cavité, ce qui conduit à des phénomènes de stratification du gaz. Les différents régimes d’écoulement (convectifs ou non) vont fortement influencer d’une part les échanges de matière entre le gaz et la saumure et donc l’évolution de la composition (en eau et autres composants) du gaz en sortie de la cavité et d’autre part les échanges thermiques entre le gaz et le massif rocheux. Dans ce contexte, des outils de prédiction basés sur la CFD (Computational Fluid Dynamics) sont fortement bénéfiques pour la compréhension de ces phénomènes et contribueront à une meilleure interprétation des mesures physiques faites en cavité, à l’amélioration du design des installations de surface et au suivi des stockages, en particulier pour le stockage d’hydrogène. Dans ce projet de thèse, l’objectif est de développer une modélisation thermohydraulique sur la base du modèle TrioCFD du stockage de gaz dans des cavités de forme réaliste et en conditions d’opération des cavités (phases d’injection et de soutirage). Pour ce faire, le fonctionnement d’une cavité saline de stockage sera modélisé, dans un premier temps, en géométrie réelle et en monophasique puis en diphasique en prenant en compte les échanges de matière entre la saumure et le gaz dans la cavité.
Transition implicite/explicite pour la simulation numérique de problèmes d’Interaction Fluide Structure traités par des techniques de frontières immergées
Dans de nombreux secteurs de l’industrie, des phénomènes transitoires rapides interviennent dans des scénarii accidentels. Dans le cadre de l’industrie nucléaire, on peut citer, par exemple, l’Accident de Perte de Réfrigérant Primaire dans lequel une onde de détente susceptible de provoquer la vaporisation du fluide primaire et d’engendrer des dégâts structuraux se propage dans le circuit primaire d’un Réacteur nucléaire à Eau Pressurisée. De nos jours, la simulation de ces phénomènes transitoires rapides repose majoritairement sur des algorithmes d’intégration temporelle « explicites » car ils permettent de traiter de manière robuste et efficace ces problèmes qui sont généralement fortement non-linéaires. Malheureusement, du fait des contraintes de stabilité imposées sur les pas de temps, ces approches peinent à calculer des régimes permanents. Face à cette difficulté, dans de nombreux cas, on néglige les grandeurs cinématiques et les contraintes internes de l’état stationnaire du système considéré au moment de la survenue du phénomène transitoire simulé.
Par ailleurs, les applications visées font intervenir des structures solides en interaction avec le fluide, qui subissent de grandes déformations et peuvent éventuellement se fragmenter. Une technique de frontières immergées dite MBM (Mediating Body Method [1]) récemment développée au CEA permet de traiter de manière performante et robuste des structures à géométrie complexe et/ou subissant de grandes déformations. Cependant, ce couplage entre le fluide et la structure solide n’a été pensé que dans le cadre de phénomène transitoire « rapides » traités par des intégrateurs en temps « explicites ».
Le sujet de thèse proposé a pour objectif final d’enchaîner un calcul d’un régime nominal suivi d’un calcul transitoire dans un contexte d’interaction fluide/structure-immergée. La phase transitoire du calcul repose nécessairement sur une intégration temporelle explicite et fait intervenir la technique d’interaction fluide/structure MBM. Afin de générer un minimum de perturbations numériques lors de la transition entre les régimes nominal et transitoire, le calcul du régime nominal devra se faire sur le même modèle numérique que le calcul transitoire, et donc s’appuyer également sur une adaptation de la méthode MBM.
Des travaux récents ont permis de déterminer une stratégie efficace et robuste pour le calcul de régimes établis pour des écoulements compressibles, basée sur une intégration « implicite » en temps. Cependant, bien que générique, cette approche n’a pour le moment été éprouvée que dans le cas de gaz parfaits, et en l’absence de viscosité.
Les principaux enjeux techniques de cette thèse consistent, en se basant sur ces premiers travaux, à 1) valider et éventuellement adapter la méthodologie pour des fluides plus complexes (en particulier de l’eau), 2) introduire et adapter la méthode MBM pour l’interaction fluide-structure dans cette stratégie de calcul de régime établi, 3) introduire la viscosité du fluide, notamment dans le cadre de la méthode MBM développée initialement pour des fluide non-visqueux. A l’issue de ces travaux, des calculs de démonstration de transition implicite/explicite avec interaction fluide/structure seront mis en place et analysés.
Un stage de fin d'études préparatoire à ces travaux de thèse peut être mis en place, selon les souhaits du candidat.
[1] Jamond, O., & Beccantini, A. (2019). An embedded boundary method for an inviscid compressible flow coupled to deformable thin structures: The mediating body method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 119(5), 305-333.
Résolution dans un cadre de calcul haute performance de problèmes de "point-selle" issus de la mécanique du contact entre structures déformables
Dans le domaine de la mécanique des structures, les systèmes simulés impliquent souvent des structures déformables qui peuvent entrer en contact. Ceci se traduit généralement dans les modèles numériques par des contraintes cinématiques sur l’inconnue du problème (i.e. le champ de déplacement), traitées par l’introduction d’inconnue dites duales qui assurent le respect de la non-interpénétration des structures qui entrent en contact. Ceci conduit à la résolution de systèmes linéaires dits de « point-selle » pour lesquels la matrice est « indéfinie » (elle a des valeurs propres positives et négatives) et « creuse » (la très grande majorité des termes de cette matrices sont nuls).
Dans le cadre du calcul parallèle haute performance, on se tourne vers des méthodes de résolution des systèmes linéaires dites « itératives » qui peuvent, au contraire des méthodes dites « directes », rester performantes pour des modèles numériques très raffinés lorsqu’on utilise un très grand nombre de processeurs de calcul en parallèle. Mais pour cela, elles doivent être soigneusement conçues et/ou adaptées en fonction du problème traité.
Alors que la résolution par des méthodes itératives de systèmes linéaires « définis positifs » (que l’on obtient en l’absence de contraintes cinématiques) est relativement bien maîtrisée, la résolution de systèmes linéaires de point-selle reste une difficulté majeure [1]. Une littérature relativement abondante propose des méthodes itératives adaptées pour le traitement du « problème de Stokes », emblématique de la mécanique des fluides incompressibles. Mais le cas des problèmes de point-selle issue de contraintes de contact entre structures déformables est un problème toujours relativement ouvert.
La thèse proposée consiste à proposer des méthodes itératives adaptées à la résolution de système linéaire de « point-selle » issus de problèmes de contact entre structures déformables, afin de permettre de traiter efficacement des modèles numériques de grande envergure. Les systèmes linéaires cibles ont une taille de plusieurs centaines de millions d’inconnues, distribués sur plusieurs milliers de processus, et ne peuvent à ce jour pas être résolus efficacement, ni par des méthodes directes, ni par des méthodes itératives préconditionnées « basiques ». On s’attachera en particulier à valider l’approche proposée par Nataf et Tournier [2] et à l’adapter aux cas où les contraintes n’agissent pas sur l’intégralité des inconnues primales.
Les travaux menés pourront être appliqués à de nombreuses problématiques industrielles, en particulier dans le cadre de l’industrie nucléaire. On peut citer par exemple le cas des pastilles combustible qui se dilatent sous l’effet de la température et de la génération de produits de fission, et viennent rentrer en contact avec la gaine métallique du crayon de combustible, ce qui peut favoriser une rupture de cette gaine [3].
Il s'agit d'un sujet de thèse en collaboration avec le laboratoire LIP6 (Sorbonne-université).
Un stage de fin d'études préparatoire à ces travaux de thèse peut être mis en place, selon les souhaits du candidat.
[1] Benzi, M., Golub, G. H., & Liesen, J. (2005). Numerical solution of saddle point problems. Acta numerica, 14, 1-137. (https://page.math.tu-berlin.de/~liesen/Publicat/BenGolLie05.pdf)
[2] Nataf, F., & Tournier, P. H. (2023). A GenEO Domain Decomposition method for Saddle Point problems. Comptes Rendus. Mécanique, 351(S1), 1-18. (https://doi.org/10.5802/crmeca.175)
[3] Michel, B., Nonon, C., Sercombe, J., Michel, F., & Marelle, V. (2013). Simulation of pellet-cladding interaction with the pleiades fuel performance software environment. Nuclear Technology, 182(2), 124-137. (https://hal.science/hal-04060973/document)
Simulation numérique de modèles de turbulence sur des maillages déformés
La turbulence joue un rôle important dans de nombreuses applications industrielles (écoulement, transfert de chaleur, réactions chimiques). Comme la simulation directe (DNS) est souvent d’un coût excessif en temps calcul, les modèles en moyenne de Reynolds (RANS) sont alors utilisés dans les codes de CFD (computational fluid dynamics). Le plus connu, qui a été publié dans les années 70, est le modèle k – e. Il se traduit par deux équations additionnelles non-linéaires couplées aux équations de Navier-Stokes, décrivant le transport, pour l’une, de l’énergie cinétique turbulente (k) et, pour l’autre, de son taux de dissipation (e). Une propriété très importante à vérifier est la positivité des paramètres k et e qui est nécessaire pour que le système d’équations modélisant la turbulence reste stable. Il est donc crucial que la discrétisation de ces modèles préserve la monotonie. Les équations étant de type convection-diffusion, il est bien connu qu’avec des schémas classiques linéaires (Eléments finis, Volumes finis etc…), les solutions numériques sont susceptibles d’osciller sur des mailles déformées. Les valeurs négatives des paramètres k et e sont alors à l’origine de l’arrêt de la simulation. Il s’avère donc nécessaire de rendre monotone les schémas linéaires classiques de la littérature de manière consistante et stable.
Nous nous intéressons aux méthodes non linéaires permettant d’obtenir des stencils compacts. Pour des opérateurs de diffusion, elles reposent sur des combinaisons non linéaires de flux de part et d’autre de chaque arête. Ces approchent ont montré leur efficacité, particulièrement pour la suppression d’oscillations sur des maillages très déformés. On pourra également reprendre les idées proposées dans la littérature, où il est par exemple décrit des corrections non linéaires s’appliquant sur des schémas linéaires classiques.
L’idée serait donc d’appliquer ce type de méthode sur les opérateurs diffusifs apparaissant dans les modèles k-e. Dans ce contexte, il sera également intéressant de transformer des schémas classiques de la littérature approchant les gradients en schémas non linéaires à deux points. Des questions fondamentales doivent être examinées dans le cas de maillages généraux à propos de la consistance et de la coercivité des schémas étudiés.
Au cours de la thèse, on prendra le temps de régler les problèmes de fond de ces méthodes (première et seconde année), à la fois sur les aspects théoriques et sur la mise en œuvre informatique. Cette dernière pourra être effectuée dans les environnements de développement Castem, TrioCFD, Trust ou POLYMAC. On s’intéressera alors à des solutions analytiques régulières et aux cas d’application représentatifs de la communauté.
Approche greedy pour la réduction de modèles en neutronique : application de la méthode des bases réduites.
On cherche à proposer une méthodologie qui permet des calculs en un temps court tout en conservant ou maîtrisant, voire réduisant, les biais et les erreurs de calcul. Une approche de type « bases réduites » pourrait répondre à cette contrainte.
Dans le cadre des bases réduites [1,3], on construit un espace d’approximation associé à une équation aux dérivées partielles dépendant d’un espace de paramètres. La construction de cet espace d’approximation comporte une phase d’exploration de l’espace des paramètres dans laquelle il est important de quantifier l’erreur entre la solution obtenue à partir de l’espace d’approximation (en construction) et la solution obtenue avec un calcul standard (discrétisation fine).
Cette étape cruciale permet de certifier la construction de la base réduite.
Récemment, des travaux ont été menés au sein du laboratoire pour fournir un estimateur d’erreur a posteriori dans le contexte de la neutronique [4].
Dans ce contexte [2], on s’intéresse à des problèmes aux valeurs propres généralisés non-symétriques. Typiquement, on considère un opérateur de Boltzmann linéaire de la forme :
Trouver (u, v) tel que Lu = Hu + v Fu,
où Lu est l’opérateur d’advection, Hu est l’opérateur de transfert qui modélise les collisions des neutrons, Fu est l’opérateur de fission et l’inconnue u représente le flux de neutrons. Cette équation est aussi appelée l’équation de transport des neutrons. Le caractère non-symétrique de ce problème aux valeurs propres vient notamment de l’opérateur de transfert.
Une première implémentation de la méthode des bases réduites basée sur la Proper Orthogonal Decomposition a été réalisée sur le modèle de diffusion neutronique dans le code APOLLO3® [5]. La méthode des bases réduites a été étudiée pour le modèle diffusion neutronique [6-8] et du transport neutronique [9-14] avec des approches plus ou moins intrusives.
L’objectif de la thèse est de contribuer à la construction de méthodes de bases réduites de type Greedy pour un modèle de neutronique, notamment sur l’assemblage du problème réduit et le calcul de l’estimateur a posteriori basés sur une décomposition affine de l’opérateur. Dans un second temps, plusieurs pistes sont envisagées :
- L’extension de la méthode des bases réduites au modèle de transport simplifié;
- L’extension de la méthode des bases réduites au modèle de transport ;
- L’application de ces travaux à l’optimisation du plan de chargement d’un réacteur de recherche.
[1] Y. Maday, O. Mula, A generalized empirical interpolation method: application of reduced basis techniques to data assimilation. Analysis and Numerics of Partial Differential Equations, XIII:221-231,2013.
[2] O. Mula, Some contributions towards the parallel simulation of time dependent neutron transport and the integration of observed data in real time, Chapter 1, 2014.
[3] G. Rozza, D. Huynh, and A. Patera, “Reduced basis approximation and a posteriori error estimation for affinely parametrized elliptic coercive partial differential equations,” Archives of Computational Methods in Engineering, vol. 15, no. 3, pp. 1–47, 2008.
[4] Y. Conjungo Taumhas, G. Dusson, V. Ehrlacher, T. Lelièvre, F. Madiot. Reduced basis method for non-symmetric eigenvalue problems: application to the multigroup neutron diffusion equations. 2023. ?HAL cea-04156959?
[5] Y. Conjungo Taumhas, F. Madiot, T. Lelièvre, V. Ehrlacher, and G. Dusson. An Application of Reduced Basis Methods to Core Computation in APOLLO3®. M&C 2023
[6] Sartori, A. Cammi, L. Luzzi, M. E. Ricotti, and G. Rozza. Reduced order methods: applications to nuclear reactor core spatial dynamics.15566, in ICAPP 2015 Proceedings, 2015.
[7] S. Lorenzi, An adjoint proper orthogonal decomposition method for a neutronics reduced order model, Annals of Nuclear Energy, 114 (2018), pp. 245–
258.
[8] P. German and J. C. Ragusa, Reduced-order modeling of parameterized multi-group diffusion k-eigenvalue problems, Annals of Nuclear Energy, 134
(2019), pp. 144–157
[9] I Halvic, JC Ragusa. Non-intrusive model order reduction for parametric radiation transport simulations. Journal of Computational Physics 492 (2023), 112385
[10] P Behne, J Vermaak, J Ragusa. Parametric Model-Order Reduction for Radiation Transport Simulations Based on an Affine Decomposition of the Operators. Nuclear Science and Engineering 197 (2), 233-261 (2023)
[11] P Behne, J Vermaak, JC Ragusa. Minimally-invasive parametric model-order reduction for sweep-based radiation transport. Journal of Computational Physics 469, 111525
[12] Z Peng, Y Chen, Y Cheng, F Li. A reduced basis method for radiative transfer equation. Arxiv preprint (2021).
[13] Sun, Y., Yang, J., Wang, Y., Li, Z., & Ma, Y. (2020). A POD reduced-order model for resolving the neutron transport problems of nuclear reactor. Annals of Nuclear Energy, 149, 107799.
[14] Wei, C., Di, Y., Junjie, Z., Chunyu, Z., Helin, G., Bangyang, X., ... & Lianjie, W. (2021). Study of non-intrusive model order reduction of neutron transport problems. Annals of Nuclear Energy, 162, 108495.