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Méthode numérique semi-implicite pour le modèle de l'hyperélasticité

Energie, thermique, combustion, écoulements Mathématiques - Analyse numérique - Simulation Sciences pour l’ingénieur

Résumé du sujet

L’interaction fluide-structure motive le développement de méthodes numériques dans de nombreux domaines

d’applications : simuler la tenue d’un pont au vent, l'écoulement du sang dans les artères ou le calcul de la

portance d’un avion ne sont que quelques exemples. La nature des problèmes considérés mène au développement

de méthodes radicalement différentes. Une façon de simuler ceci est de considérer un modèle global pour la

mécanique des milieux continus valable de l’élasticité des matériaux solides à la dynamique des gaz (approche

monolithique). Une telle stratégie a été mise en oeuvre dans Hera. En dynamique rapide, le problème principal

est que les ondes parcourent les solides beaucoup plus rapidement que les gaz, ce qui pénalise fortement le pas

de temps de la simulation. En effet, les méthodes numériques mises en jeu sont explicites, dont la stabilité est

garantie par un critère CFL qui dépend de la vitesse du son locale.

Pour se libérer de cette contrainte, une solution est d’impliciter le schéma, pour le système des équations

d’Euler. A l’usage, l’emploi sans discernement de cette solution peut s’avérer contre productif s’il conduit à

inverser des systèmes linéaires de très grande taille. Le prix de l’inversion peut alors devenir plus important

que la multiplication d’étapes explicites. Une façon de contourner cette difficulté est d’impliciter uniquement la

partie solide.

Dans cette thèse on s’intéresse à imaginer, analyser et mettre en œuvre une méthode numérique pour ce

problème. Le modèle considérée est l’hyperélasticité. On étudiera la possibilité d’impliciter

localement (dans le solide), et éventuellement partiellement (méthodes IMEX) la méthode numérique. Abgrall

et Torlo ont récemment proposé une méthode semi-implicte sans matrice, d’ordre quelconque en 1D sur

maillage cartésien. Dans ce travail, ils transforment un système de lois de conservation non-linéaire quelconque,

en un système linéaire par une méthode de relaxation. L’intégration en temps est obtenue par une méthode de

correction différée. Cela permet d’atteindre des CFL de quelques unités sans avoir

de matrice à inverser. On explorera l’opportunité d’utiliser cette méthode pour le système de l’hyperélasticité et

de l’étendre en dimension supérieure à 2, sur maillages non-structurés.

Laboratoire

DSSI
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