Les ordinateurs quantiques sont censés révolutionner le calcul tels que nous le connaissons. Comment sont-ils censés y parvenir ? Essentiellement, ils nous permettent d'effectuer une partie de l'algèbre linéaire (certaines multiplications matrice-vecteur) sur des vecteurs exponentiellement grands. Le formalisme des réseaux de tenseurs constitue un cadre mathématique naturel pour comprendre leur fonctionnement. À l'inverse, les réseaux de tenseurs gagnent en popularité en tant qu'outils pouvant remplacer les ordinateurs quantiques, tout en fonctionnant sur du matériel parfaitement classique. Pour ce faire, ils s'appuient sur une structure sous-jacente cachée de certains problèmes mathématiques (une forme d'intrication) qui peut être exploitée pour compresser des vecteurs exponentiellement grands en petits réseaux de tenseurs. Un nombre croissant de problèmes, apparemment exponentiellement difficiles, sont résolus de cette manière. Les réseaux de tenseurs sont également étroitement liés à l'intelligence artificielle. Par exemple, la différenciation automatique – l'algorithme central de toutes les optimisations des réseaux neuronaux – équivaut à la contraction d'un réseau de tenseurs.

Ce doctorat se situe à l'intersection entre la physique quantique théorique et les mathématiques appliquées. L'objectif sera de développer et d'appliquer de nouveaux algorithmes pour « vaincre la malédiction de la dimensionnalité », c'est-à-dire repousser les limites des problèmes auxquels nous pouvons accéder par le calcul. Plus précisément, nous développerons une extension de l'algorithme d'interpolation croisée tensorielle (TCI) aux arbres tensoriels (également appelés réseaux tensoriels sans boucle). Dans sa forme actuelle, le TCI est un algorithme d'apprentissage actif qui peut mapper une fonction d'entrée à haute dimension sur un train de tenseurs (réseau de tenseurs linéaire) [1]. Son extension aux arbres améliorera considérablement l'expressivité du réseau. Dans un deuxième temps, nous appliquerons cet algorithme pour calculer une classe d'intégrales à haute dimension qui apparaissent dans le contexte des calculs de diagrammes de Feynman [2]. Les algorithmes envisagés combinent l'approche du flux de normalisation (issu des réseaux neuronaux) avec l'interpolation croisée des tenseurs (issu des réseaux de tenseurs). L'objectif est de pouvoir calculer le diagramme de phase hors équilibre de divers modèles corrélés, à partir des doubles points quantiques (qui suscitent actuellement un vif intérêt en raison de leurs applications aux qubits) dans le régime Kondo jusqu'à la propagation des impulsions de tension dans les interféromètres électroniques.

[1] https://scipost.org/SciPostPhys.18.3.104
[2] https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.041038